بردار و مختصات

بردار و مختصات

بردار: پاره خطی است جهت دار که دارای ابتدا و انتها میباشد و راستا می باشد.

- دو بردار مساوی( همسنگ ) :   دو بردار زمانی مساوی اند که 1- موازی (هم راستا ) 2- هم جهت 3- هم اندازه باشند.

- دو بردار قرینه :       دوبردار زمانی قرینه اند که : 1- موازی 2- هم اندازه 3- خلاف جهت یکدیکر باشند .

مثال :  اگر جای ابتدا و انتهای بردار عوض شود بردار قرینه می شود.

BA= -AB  یا AB = -BA  

- محور های مختصات : 

دو محور عمود بر هم هستند که محل برخورد انها را مبدا مختصات گویند این دو محور صفحه را به چهار ناحیه ( ربع ) تقسیم می کنند

-         نقاطی که در ربع اول قرار دارند دارای طول و عرض مثبت هستند.

-         نقاطی که در ربع دوم قرار دارند دارای طول (منفی) و عرض (مثبت) هستند.

-         نقاطی که در ربع سوم قرار دارند دارای طول و عرض (منفی) هستند.

-         نقاطی که در ربع چهارم قرار دارند دارای عرض (منفی) و طول (مثبت) هستند.

-         هر نقطه روی محور طول ها فقط طول دارد و عرض ان برابر صفر است.

-         هر نقطه روی محور عرض ها فقط عرض دارد و طول ان برابر صفر است.                                   

مختصات هر نقطه روی صفحه روی صفحه همیشه نسبت به مبدا ( نقطه ی    (oمشخص می شود.

قرینه ی یک نقطه نسبت به محورهای مختصات و نیمساز ربع اول و سوم ، نیمسازربع دوم و چهارم و همچنین نسبت به یک نقطه ی دیگر به صورت زیر است:

-         در قرینه ی نقطه نسبت به محور طول ها: عرض قرینه می شود و طول ثابت است.

-         در قرینه ی نقطه نسبت به محور عرض ها: طول قرینه میشود و عرض ثابت است.

-         در قرینه ی یک نقطه نسبت به نیمساز ربع اول و سوم: جای طول و عرض عوض می شود.

-         در قرینه ی یک نقطه نسبت به نیمساز ربع دوم و چهارم: جای طول و عرض عوض و قرینه می شود.

-         قرینه ی یک نقطه نسبت به مبدا: طول و عرض قرینه می شود.

-         قرینه ی A نسبت به نقطه ی B: A=2B-A

مختصات بردار در صفحه ی مختصات :

مختصات یک بردار در صفحه همیشه از ابتدای یک بردار حساب می شود نه از مبدا:

 (  مگر این که ابتدای بردار روی مبدا باشد. )

هر برداری که موازی محور طول ها باشد دارای عرض صفر است.

هر برداری که موازی محور عرض ها باشد دارای طول صفر است.

بردار انتقال:

برداری که باعث انتقال یا تغییر مکان در صفحه شود بردار انتقال گویند.

جمع مختصاتی ( جمع متناظر با بردار ):

مختصات بردار  + مختصات انتها + مختصات ابتدا : جمع متناظر با بردار AB

تفریق متنا ظر با بردار ها :

اگر مختصات ابتدا و انتهای برداری را داشته باشیم و بخواهیم مختصات خود بردار را به دست اوریمبه صورت زیر عمل می کنیم.

 بردار قرینه در صفحه ی مختصات:

 = -AB = BA قرینه ی AB

 = -BA= ABقرینه یBA

جمع و تفریق هندسی بردارها:

1: روش مثلثی :

اگر ابتدای یک بردار از انتهای یک بردار دیگر شروع شود برای رسم بردار حاصل جمع کافی است ابتدای بردار اول را به انتهای بردار دوم وصل کنیم.

2: روش متوازی الاضلاع:

اگر دو بردار از یک نقطه شروع شده باشند برای رسم بردار حاصل جمع باید مساوی یکی از ان بردار ها از بردار دیگر رسم کنیم و با توجه به روش مثلثی بردار حاصل جمع قطر متوازی الاضلاع می شود.

تفریق هندسی بردارها:

الف) دو بردار نقطه ی شروع یکسان داشته باشند.

ب) دو بردار نقطه ی شروع یکسان نداشته باشند.

نکته: دو بردارA  و Bموازی اند هر گاه نسبت طول ها و عرض ها برابر باشد.

نکته: دو بردارA  و Bعمودند هر گاه :

حاصل ضرب طول ها + حاصل ضرب عرض ها =صفر0

نکته: برداری که با نیمساز ربع اول و سوم باشد دارای طول و عرض یکسان است.

بردار

کلمه بردار به معنای حمل کننده میباشد و از یک کلمه لاتین به همین معنا گرفته شده است.یک بردار به عنوان یک عنصر از فضای برداری تعریف میشودو در فضای nبعدی دارای n مولفه است.پس بدیهی است که یک بردار در صفحه دارای دو مولفه میباشدو یا در فضای سه بعدی سه مولفه را اختیار میکند.بردارها در علوم مختلف مانند فیزیک کاربردهای فراوانی دارند و بدون آنها نمیتوان بسیاری از مولفه های فیزیکی مانند سرعت ، شتاب و… را تفسیر و تعریف نمود.

کميتی که علاوه بر اندازه دارای جهت نيز باشد. مهم ترين کميت های برداری که می‌‌توان نام برد عبارت‌اند از:

۱- مکان ۲- سرعت ۳- شتاب ۴- نيرو ۵- ميدان های الکتريکی و مغناطيسی

يکی از بهترين راهای تشخيص برداری بودن يا نبودن يک کميت اينست که بررسی کنيم آيا جمع آن کميت خاصيت برداری دارد يا خير. مثلاً جريان الکتريکی با وجود آنکه علاوه بر اندازه جهت نيز دارد ولی برداری نيست زيرا جمع جريان ها به صورت اسکالر صورت می‌‌گيرد (قانون جريان کيرشهف).

در حالت بسيار کلی هر مجموعه عدد که به صورت يک ماتريس ستونی n*۱ قابل نوشتن باشد بردار گفته می‌شود. کاربرد اين مفهوم در توصيف حالت سيستم ها به مراتب بيشتر از محاسبات پديده‌های فيزيکی است.

خصوصیات بردارها

بردارها را میتوان با یکدیگر جمع (جمع بردارها) و یا ضرب (ضرب بردارها) کرد.البته ضرب دو بردار با ضرب یک اسکالردر آن فرق میکند.ضرب بردارها سه نوع است که عبارتنداز ضرب داخلی ، ضرب خارجی و ضرب مستقیم تانسوری که حاصل همه این ضربها لزوما یک بردار نیست.

هر بردار دارای دو مولفه است که این دو مولفه عبارتند از طول بردار و جهت بردار.همچنین هر بردار دارای یک ابتدا و یک انتها نیز هست. برداری که دارای طول واحد باشدبردارواحد مینامند و برداری که طول آن صفر است را بردارصفر مینامند.

جبر برداری

مجموع اعمال ریاضی شامل جمع ، ضرب ، مشتق ، انتگرال و… که بر روی

بردارها انجام می‌شود، بر اساس قواعد و اصول خاصی قابل اجراست. مجموعه این قوانین در مبحثی تحت عنوان جبر برداری مورد بحث قرار می‌گیرند.

نکاتی در مورد فصل بردار و مختصات

1-بردار های موازی محور طول ها ، طول دارند اما عرض آن ها مبدا مختصات یا 0 می باشد.

2-بردار های موازی محور عرض ها ، عرض دارند اما طول آن ها مبدا مختصات یا 0 می باشد.

3-بردار های مورب ، هم طول دارند و هم عرض.

آموزش مختصات در ریاضی

این مطلب رو admin در چهارشنبه 01 آبان 1392 ساعت: 18:16 در سایت قرار داده است.

دو محور عمود بر هم که در یک صفحه قرار دارند ، یک دستگاه مختصات به وجود می آورند.

محور افقی را محور طول، محور عمودی را محور عرض و محل برخورد دو محور را مبدأ مختصات می نامند.

صفحه ی حاصل از دو محور مختصات را صفحه ی مختصات می گوییم.

از آن جا که دو محور مختصات بر هم عمود هستند آنرا دستگاه مختصات قائم یا دکارتی ( منسوب به دکارت ) می نامند.